曲率公式是什么？一提到“曲率”，不少同学脑子里浮现的就是课本上那一堆密密麻麻的求导符号。其实不用慌，曲率这物品本质很简单：它就是用来衡量一条线到底“拐了几许弯”。想象你在开车，路线盘没动就是直线（曲率为 0），路线盘转得越急，说明路拐得越狠，这时候曲率就越大。
但难题在于，我们在数学里描述曲线的方式太多了。有的是一条函数 $y=f(x)$，有的是参数方程 $x=x(t), y=y(t)$，甚至是在三维空间里飘着的螺旋线。既然描述方式不一样，对应的计算公式天然也就没法用一个通用的式子套到底。因此，想搞清楚曲率公式，得先看你手里的曲线长什么样。下面这张表把几种常见情况下的公式给理了出来，顺便把半径和曲率的关系也带上——毕竟在实际算题或者工程里，知道半径有时候比知道曲率更方便。
常用情形下的曲率与半径对应表
| 曲线表现形式 | 关键参数/条件 | 曲率 $kappa$ 计算公式 | 几何直观 / 备注 | ||||
| 平面直角坐标 显函数 $y=f(x)$ |
$f'(x)$ 为导数，$f”(x)$ 为二阶导数 | $kappa = frac | f”(x) | }[1+(f'(x))^2]^3/2}}$ | 最常用的基础形式。 注意完全值不能丢，由于曲率是非负的。 |
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| 平面参数方程 $begincases} x=varphi(t) \ y=psi(t) endcases}$ |
对 $t$ 的一阶、二阶导数存在且连续 | $kappa = frac | dotx}ddoty}-doty}ddotx} | }[(dotx})^2+(doty})^2]^3/2}}$ | 物理运动轨迹常用此式。 分子其实是向量叉积的模长。 |
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| 空间曲线 向量形式 $vecr}(t)$ |
$vecr}'(t), vecr}”(t)$ 分别为切向与二阶向量 | $kappa = frac | vecr}'(t) times vecr}”(t) | } | vecr}'(t) | ^3}$ | 适用于立体几何或电磁场路径。 需用到向量叉乘运算。 |
| 极坐标方程 $r=r(theta)$ |
极径对极角的导数关系 | $kappa = frac | r^2+2(r’)^2-r r” | }(r^2+(r’)^2)^3/2}}$ | 处理圆锥曲线或螺旋线时好用。 公式看着吓人，代入计算通常能消掉很多项。 |
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| 一般定义 弧长参数 $s$ |
切向量关于弧长的变化率 | $kappa = | fracdmathbfT}}ds} | $ | 最本质的定义式。 适合学说推导，不太适合手算具体数值。 |
写到最终多啰嗦一句：
很多同学容易把曲率 $kappa$ 和曲率半径 $R$ 搞混。它们俩其实就是倒数关系：$R = frac1}kappa}$。如果你算出来曲率是 2，那意味着这个点可以用一个半径为 0.5 的圆来拟合；如果曲率是 0，那就是直线，半径趋于无穷大。做题的时候，看清楚题目问的是“弯曲程度”还是“圆的半径”，别最终结局差个倒数，那就挺冤枉的了。
